$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ とします。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ とします。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2 \theta = \frac{15}{16}$

$\theta$ の範囲が $0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ であることから、$\sin \theta \geq 0$ であるので、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{4}{1} = \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = \sqrt{15}$