半径1の円がx軸に接しながら滑らずに正の方向に転がるとき、円周上の点P(x, y)の軌跡を求めます。円の中心Aは最初(0, 1)にあり、点Pは原点にあるとします。円の中心Aが$(\theta, 1)$の位置にきたときの点Pの座標xとyを$\theta$を用いて表します。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とします。

1. 問題の内容

半径1の円がx軸に接しながら滑らずに正の方向に転がるとき、円周上の点P(x, y)の軌跡を求めます。円の中心Aは最初(0, 1)にあり、点Pは原点にあるとします。円の中心Aが$(\theta, 1)$の位置にきたときの点Pの座標xとyを$\theta$を用いて表します。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とします。

2. 解き方の手順

まず、円が角度$\theta$だけ回転したときの点Pの位置を考えます。

- 円の中心Aの座標は$(\theta, 1)$です。

- 円が$\theta$だけ回転したとき、点Pは円周上で$\theta$だけ回転した位置にあります。

- 最初、点Pは原点にありましたが、円が回転することで、点Pは中心Aから見て、時計回りに$\theta$だけ回転した位置に移動します。

- したがって、点Pの座標は、中心Aの座標から、相対的な位置を引くことで求められます。

- 中心Aから見た点Pの相対的な位置は、

$(- \sin{\theta}, -\cos{\theta})$

です。

- したがって、点Pの座標$(x, y)$は、

$x = \theta - \sin{\theta}$

$y = 1 - \cos{\theta}$

となります。

3. 最終的な答え

$x = \theta - \sin{\theta}$

$y = 1 - \cos{\theta}$