三角形ABCにおいて、$ \angle A = 45^\circ $, $b = 3$, $c = 2\sqrt{2}$であるとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 45^\circ$, $b = 3$, $c = 2\sqrt{2}$であるとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理は、三角形の辺の長さとその間の角の関係を表すもので、以下の式で表される。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

問題文より、$b=3$, $c=2\sqrt{2}$, $A=45^\circ$なので、余弦定理に代入する。

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$a^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 9 + 8 - 12$

$a^2 = 5$

$a > 0$より、

$a = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{5}$