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三角形ABCにおいて、辺a=4、辺b=$2\sqrt{2}$、角C=45°であるとき、辺cの長さを求める。

幾何学三角形余弦定理辺の長さ三角比
2025/4/8

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺a=4、辺b=222\sqrt{2}、角C=45°であるとき、辺cの長さを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺cの長さを求める。余弦定理は以下の式で表される。
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
与えられた値を代入すると、
c2=42+(22)2−2(4)(22)cos⁡45∘c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(4)(2\sqrt{2})\cos 45^\circ
c2=16+8−162⋅22c^2 = 16 + 8 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
c2=24−162⋅22=24−16⋅22=24−16=8c^2 = 24 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 - 16 \cdot \frac{2}{2} = 24 - 16 = 8
したがって、c=8=22c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

3. 最終的な答え

c=22c = 2\sqrt{2}

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