定積分 $\int_{-1}^{2} (2x-1)^2 dx + \int_{-1}^{2} (3+4x-2x^2) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (2x-1)^2 dx + \int_{-1}^{2} (3+4x-2x^2) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの積分をまとめます。積分区間が同じなので、被積分関数を足し合わせることができます。

$\int_{-1}^{2} (2x-1)^2 dx + \int_{-1}^{2} (3+4x-2x^2) dx = \int_{-1}^{2} [(2x-1)^2 + (3+4x-2x^2)] dx$

次に、被積分関数を展開して整理します。

$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

したがって、

$(2x-1)^2 + (3+4x-2x^2) = (4x^2 - 4x + 1) + (3+4x-2x^2) = 2x^2 + 4$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{2} (2x^2 + 4) dx$

この積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (2x^2 + 4) dx = [\frac{2}{3}x^3 + 4x]_{-1}^{2}$

積分の上端と下端の値を代入して計算します。

$[\frac{2}{3}(2)^3 + 4(2)] - [\frac{2}{3}(-1)^3 + 4(-1)] = [\frac{2}{3}(8) + 8] - [\frac{2}{3}(-1) - 4] = [\frac{16}{3} + 8] - [-\frac{2}{3} - 4] = \frac{16}{3} + 8 + \frac{2}{3} + 4 = \frac{18}{3} + 12 = 6 + 12 = 18$

3. 最終的な答え

18