三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{13}$であるとき、$\angle C$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{13}$であるとき、$\angle C$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$\cos C$を求めます。余弦定理は以下の式で表されます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

この式を$\cos C$について解くと、以下のようになります。

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入します。

$\cos C = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2} = \frac{3 + 4 - 13}{4\sqrt{3}} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos C = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となる角$C$を求めます。$0^\circ < C < 180^\circ$の範囲で考えると、$C = 150^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$\angle C = 150^\circ$