$\cos \frac{11}{12}\pi$ の値を、加法定理を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos \frac{11}{12}\pi$ の値を、加法定理を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{11}{12}\pi$を既知の角度の和または差で表します。

$\frac{11}{12}\pi = \pi - \frac{\pi}{12}$

あるいは、

$\frac{11}{12}\pi = \frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{4}$

$\frac{11}{12}\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{\pi}{6}$

今回は$\frac{11}{12}\pi = \frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{4}$を利用します。

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ を用いると、

$\cos \frac{11}{12}\pi = \cos (\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{2}{3}\pi\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{2}{3}\pi\sin\frac{\pi}{4}$

$\cos\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{2}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{11}{12}\pi = (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$