与えられた積分を計算する問題です。問題は次の積分を計算することです。 $\int_{0}^{t} \frac{dv}{dt} dt = \int_{0}^{t} \frac{mV}{M_0 - mt} dt$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。問題は次の積分を計算することです。

$\int_{0}^{t} \frac{dv}{dt} dt = \int_{0}^{t} \frac{mV}{M_0 - mt} dt$

2. 解き方の手順

まず、左辺の積分を計算します。

$\int_{0}^{t} \frac{dv}{dt} dt = \left[ v \right]_0^t = v(t) - v(0)$

ここで、初期条件$v(0) = 0$と仮定すると、$v(t) - v(0) = v(t)$となります。

次に、右辺の積分を計算します。

$\int_{0}^{t} \frac{mV}{M_0 - mt} dt$

変数変換を行います。

$u = M_0 - mt$ とすると、$du = -m dt$ となります。したがって、$dt = -\frac{1}{m} du$です。

また、積分範囲も変わります。$t=0$のとき、$u = M_0$、$t=t$のとき、$u = M_0 - mt$となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{M_0}^{M_0 - mt} \frac{mV}{u} \left( -\frac{1}{m} \right) du = -V \int_{M_0}^{M_0 - mt} \frac{1}{u} du$

$= -V \left[ \ln|u| \right]_{M_0}^{M_0 - mt} = -V \left( \ln|M_0 - mt| - \ln|M_0| \right)$

$= -V \ln\left| \frac{M_0 - mt}{M_0} \right| = V \ln\left| \frac{M_0}{M_0 - mt} \right|$

したがって、

$v(t) = V \ln\left( \frac{M_0}{M_0 - mt} \right)$

3. 最終的な答え

$v(t) = V \ln\left( \frac{M_0}{M_0 - mt} \right)$