次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx$ (2) $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$ (3) $\int \sin^2 x dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx$

(2) $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$

(3) $\int \sin^2 x dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{2x^2-1}{x+1}$ を筆算で割り算します。

$2x^2 - 1 = (x+1)(2x-2) + 1$

よって、

$\frac{2x^2-1}{x+1} = 2x - 2 + \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx = \int (2x - 2 + \frac{1}{x+1}) dx$

$= x^2 - 2x + \log|x+1| + C$

(2)

$\frac{x}{(x+1)(x+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

$x = A(x+2) + B(x+1)$

$x = (A+B)x + (2A+B)$

係数を比較して、

$A+B=1$

$2A+B=0$

これを解くと、$A=-1$, $B=2$

したがって、

$\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+2}$

$\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx = \int (\frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+2}) dx$

$= -\log|x+1| + 2\log|x+2| + C$

$= \log(x+2)^2 - \log|x+1| + C$

$= \log\frac{(x+2)^2}{|x+1|} + C$

(3)

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx$

$= \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2}\sin 2x) + C$

$= \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 2x + \log|x+1| + C$

(2) $\log\frac{(x+2)^2}{|x+1|} + C$

(3) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$