与えられた不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \sin^3 x \, dx$ (2) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \sin^3 x \, dx$

(2) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^3 x \, dx$

$\sin^3 x$ を $\sin x$ と $\sin^2 x$ に分解し、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を利用して計算します。

$$\int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx$$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x \, dx$ となります。したがって、

$$\int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx = \int (1 - u^2) (-du) = \int (u^2 - 1) \, du = \frac{1}{3}u^3 - u + C$$

$u$ を $\cos x$ に戻すと、

$$\frac{1}{3}\cos^3 x - \cos x + C$$

(2) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

$\frac{1}{\sin x} = \csc x$ であることを利用します。$\csc x$ の積分は、分子と分母に $\csc x - \cot x$ を掛けることで計算できます。

$$\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx = \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx$$

ここで、$u = \csc x - \cot x$ と置換すると、$du = (-\csc x \cot x + \csc^2 x) \, dx = \csc x (\csc x - \cot x) \, dx$ となります。したがって、

$$\int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + C$$

$u$ を $\csc x - \cot x$ に戻すと、

$$\ln |\csc x - \cot x| + C$$

別の表現として、半角の公式を用いると、

$$\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^3 x \, dx = \frac{1}{3}\cos^3 x - \cos x + C$

(2) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$