問題は次の2つの不定積分を求めることです。 (1) $\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx$ (2) $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$

1. 問題の内容

問題は次の2つの不定積分を求めることです。

(1) $\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx$

(2) $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数 $\frac{2x^2-1}{x+1}$ を多項式と分数の和に変形します。割り算を実行すると、$2x^2 - 1 = (x+1)(2x-2) + 1$ となるので、

$\frac{2x^2-1}{x+1} = 2x-2 + \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx = \int (2x-2 + \frac{1}{x+1}) dx = \int 2x dx - \int 2 dx + \int \frac{1}{x+1} dx = x^2 - 2x + \log|x+1| + C$

(2)

被積分関数 $\frac{x}{(x+1)(x+2)}$ を部分分数分解します。すなわち、

$\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

となるような定数 $A, B$ を求めます。両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛けると、

$x = A(x+2) + B(x+1)$

$x = (A+B)x + (2A+B)$

両辺の係数を比較すると、

$A+B = 1$

$2A+B = 0$

これを解くと、$A = -1, B = 2$ となります。したがって、

$\frac{x}{(x+1)(x+2)} = -\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2}$

よって、

$\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx = \int (-\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2}) dx = -\int \frac{1}{x+1} dx + 2\int \frac{1}{x+2} dx = -\log|x+1| + 2\log|x+2| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{2x^2-1}{x+1} dx = x^2 - 2x + \log|x+1| + C$

(2) $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx = -\log|x+1| + 2\log|x+2| + C$