直線 $y = 2x + k$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ と接するような $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + k$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ と接するような $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

直線と円が接するということは、円の中心から直線までの距離が円の半径に等しいことを意味する。円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $1$ である。

直線 $y = 2x + k$ は $2x - y + k = 0$ と変形できる。点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は次の式で与えられる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の場合は、点 $(0, 0)$ から直線 $2x - y + k = 0$ までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|2(0) - (0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$

この距離が円の半径 $1$ に等しいので、

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 1$

$|k| = \sqrt{5}$

したがって、$k = \pm \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$k = \sqrt{5}, -\sqrt{5}$