多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが8、$x+3$ で割った余りが-7であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが8、$x+3$ で割った余りが-7であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを $ax + b$ とおきます。

このとき、$P(x)$ はある多項式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$

と表せます。

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが8なので、$P(2) = 8$ が成り立ちます。

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 8$

$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが-7なので、$P(-3) = -7$ が成り立ちます。

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) + (-3)a + b = -3a + b = -7$

連立方程式

$2a + b = 8$

$-3a + b = -7$

を解きます。

上の式から下の式を引くと

$5a = 15$

$a = 3$

$2(3) + b = 8$

$6 + b = 8$

$b = 2$

したがって、求める余りは $3x + 2$ です。

3. 最終的な答え

$3x + 2$