三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $a = 6$のとき、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $a = 6$のとき、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle C$を求めます。

$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$$

次に、正弦定理を用いて、$b$を求めます。正弦定理は

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

です。今回は$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$の部分を使います。

$$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$$\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$12 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$

$$12\sqrt{2} = 2b$$

$$b = 6\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$b = 6\sqrt{2}$