三角形ABCにおいて、$a=4$, $A=45^\circ$, $B=75^\circ$, $C=60^\circ$のとき、$c$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $A=45^\circ$, $B=75^\circ$, $C=60^\circ$のとき、$c$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、$c$の値を求める。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$である。

今回は$a$, $A$, $C$の値が分かっているので、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

を用いて、$c$を求める。

$a=4$, $A=45^\circ$, $C=60^\circ$を代入すると、

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{2c}{\sqrt{3}}$

$c = \frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{6}$