与えられた4つの高次方程式の解を求めます。 (1) $x^3 = -27$ (2) $x^4 - x^2 - 12 = 0$ (3) $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$ (4) $(x^2 + 3x - 3)(x^2 + 3x + 4) = 8$

1. 問題の内容

与えられた4つの高次方程式の解を求めます。

(1) $x^3 = -27$

(2) $x^4 - x^2 - 12 = 0$

(3) $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$

(4) $(x^2 + 3x - 3)(x^2 + 3x + 4) = 8$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = -27$

$x^3 + 27 = 0$

$(x+3)(x^2-3x+9) = 0$

$x = -3$ または $x^2 - 3x + 9 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(9)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

実数解は $x = -3$

(2) $x^4 - x^2 - 12 = 0$

$y = x^2$ とすると、

$y^2 - y - 12 = 0$

$(y - 4)(y + 3) = 0$

$y = 4$ または $y = -3$

$x^2 = 4$ または $x^2 = -3$

$x = \pm 2$ または $x = \pm i\sqrt{3}$

実数解は $x = \pm 2$

(3) $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$

$P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ とおくと、

$P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$

したがって、$x-1$を因数に持つ。

$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)(x^2 - 2x + 2) = 0$

$x = 1$ または $x^2 - 2x + 2 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

実数解は $x = 1$

(4) $(x^2 + 3x - 3)(x^2 + 3x + 4) = 8$

$y = x^2 + 3x$ とすると、

$(y - 3)(y + 4) = 8$

$y^2 + y - 12 = 8$

$y^2 + y - 20 = 0$

$(y + 5)(y - 4) = 0$

$y = -5$ または $y = 4$

$x^2 + 3x = -5$ または $x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x + 5 = 0$ または $x^2 + 3x - 4 = 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{11}}{2}$ または $(x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

実数解は $x = -4, 1$

3. 最終的な答え

(1) -3

(2) ±2

(3) 1

(4) -4, 1