## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解します。

(1) $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$

(2) $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$

(3) $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$

(4) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

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2. 解き方の手順

### (1) $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$

共通因数でくくります。

$x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2 = x^2(x - 2y) + y(x - 2y)$

$(x - 2y)$ を共通因数としてくくりだします。

$(x - 2y)(x^2 + y)$

### (2) $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x + (-3y^2 + y + 4)$

次に、定数項 $-3y^2 + y + 4$ を因数分解します。

$-3y^2 + y + 4 = -(3y^2 - y - 4) = -(3y - 4)(y + 1)$

したがって、与式は

$x^2 + (2y - 5)x - (3y - 4)(y + 1)$

$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ とおいて、係数比較をします。

$AC = -3$、 $A + C = 2$より、$A = 3, C = -1$

$BD = 4$、$AD + BC = -5$より、$B = -4, D = -1$

よって、$x^2 + (2y - 5)x - (3y - 4)(y + 1) = (x + 3y - 4)(x - y - 1)$

### (3) $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$

$x$ について整理します。

$2x^2 + (8a - 1)x + (6a^2 + a - 1)$

定数項 $6a^2 + a - 1$ を因数分解します。

$6a^2 + a - 1 = (2a + 1)(3a - 1)$

$2x^2 + (8a - 1)x + (2a + 1)(3a - 1)$

$(2x + 3a - 1)(x + 2a + 1)$

### (4) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

展開して整理します。

$a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc = a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 2abc$

$a$ について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

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3. 最終的な答え

(1) $(x - 2y)(x^2 + y)$

(2) $(x + 3y - 4)(x - y - 1)$

(3) $(2x + 3a - 1)(x + 2a + 1)$

(4) $(a+b)(b+c)(c+a)$