右の図において、直線lは原点を通る直線、直線mは方程式 $x+2y-10=0$ で表される直線である。直線lとmはy座標が2の点で交わり、その交点をAとする。直線mとx軸、y軸との交点をそれぞれB, Cとする。直線 $x=4$ と直線l, mとの交点をそれぞれD, Eとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 直線mをグラフとする1次関数を求めよ。 (2) 四角形CODEの面積を求めよ。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

## 解答

1. 問題の内容

右の図において、直線lは原点を通る直線、直線mは方程式 $x+2y-10=0$ で表される直線である。直線lとmはy座標が2の点で交わり、その交点をAとする。直線mとx軸、y軸との交点をそれぞれB, Cとする。直線 $x=4$ と直線l, mとの交点をそれぞれD, Eとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 直線mをグラフとする1次関数を求めよ。

(2) 四角形CODEの面積を求めよ。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 直線mの方程式 $x + 2y - 10 = 0$ をyについて解く。

$2y = -x + 10$

$y = -\frac{1}{2}x + 5$

(2) 各点の座標を求める。

Aは直線lとmの交点であり、y座標が2である。

直線mの方程式に $y=2$ を代入する。

$x + 2(2) - 10 = 0$

$x + 4 - 10 = 0$

$x = 6$

よって、A(6, 2)。

Bは直線mとx軸の交点なので、$y=0$ を代入する。

$x + 2(0) - 10 = 0$

$x = 10$

よって、B(10, 0)。

Cは直線mとy軸の交点なので、$x=0$ を代入する。

$0 + 2y - 10 = 0$

$2y = 10$

$y = 5$

よって、C(0, 5)。

Dは直線lと直線 $x=4$ の交点である。

直線lは原点を通るので、$y = ax$ と表せる。点A(6, 2)を通るので、 $2 = 6a$。

$a = \frac{1}{3}$

よって、直線lは $y = \frac{1}{3}x$。

したがって、Dの座標は $(4, \frac{4}{3})$。

Eは直線mと直線 $x=4$ の交点である。

直線mの方程式に $x=4$ を代入する。

$4 + 2y - 10 = 0$

$2y = 6$

$y = 3$

よって、E(4, 3)。

四角形CODEの面積を求める。

四角形CODEは台形ODEと三角形OCEを足したものとして考えることができる。

台形ODEの面積は、

$\frac{1}{2} \times (OD + CE) \times OE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} + 5) \times 4 = 2(\frac{4}{3} + \frac{15}{3}) = 2 \times \frac{19}{3} = \frac{38}{3}$

CEは$5 -3 = 2$

三角形ODEの面積は $\frac{1}{2} |(0 \cdot \frac{4}{3} + 4 \cdot 2 + 0 \cdot 0) - (0 \cdot 4 + \frac{4}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)| = \frac{1}{2} (8 - 0) = 4$

四角形CODEは台形である。上底はDE = $3-\frac{4}{3} = \frac{5}{3}$。下底はOC = $5$。高さはOD = $4$。

したがって四角形CODEの面積は、

$\frac{1}{2} \times (\frac{5}{3} + 5) \times 4 = 2(\frac{5}{3} + \frac{15}{3}) = 2 \times \frac{20}{3} = \frac{40}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 5$

(2) $\frac{40}{3} cm^2$