三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3\sqrt{5}$, $\tan A = -\frac{3}{4}$である。 (1) $\cos A$の値を求めよ。 (2) 辺ACの長さを求めよ。 (3) $\angle BCD = 90^\circ$かつ$CD = \frac{\sqrt{5}}{2}$である点Dを、直線BCに関して点Aと同じ側にとり、直線ACと直線BDとの交点をEとする。線分DEの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を丁寧に読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3\sqrt{5}$, $\tan A = -\frac{3}{4}$である。

(1) $\cos A$の値を求めよ。

(2) 辺ACの長さを求めよ。

(3) $\angle BCD = 90^\circ$かつ$CD = \frac{\sqrt{5}}{2}$である点Dを、直線BCに関して点Aと同じ側にとり、直線ACと直線BDとの交点をEとする。線分DEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tan A = -\frac{3}{4}$であるから、$\cos^2 A = \frac{1}{1+\tan^2 A} = \frac{1}{1+(-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1+\frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$

よって、$\cos A = \pm \frac{4}{5}$。

ここで、$0^\circ < A < 180^\circ$において、$\tan A < 0$なので、$90^\circ < A < 180^\circ$。したがって、$\cos A < 0$であるから、

$\cos A = -\frac{4}{5}$。

(2) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

$(3\sqrt{5})^2 = 5^2 + AC^2 - 2 \cdot 5 \cdot AC \cdot (-\frac{4}{5})$

$45 = 25 + AC^2 + 8AC$

$AC^2 + 8AC - 20 = 0$

$(AC+10)(AC-2)=0$

$AC > 0$より、$AC=2$。

(3) $\angle BCD = 90^\circ$なので、三角形BCDは直角三角形である。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = (3\sqrt{5})^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 45 + \frac{5}{4} = \frac{185}{4}$

$BD = \sqrt{\frac{185}{4}} = \frac{\sqrt{185}}{2}$

三角形ABCにおいて、$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$より、

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\frac{2}{\sin B} = \frac{5}{\frac{3}{5}}$

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{5} = \frac{6}{25}$

また、三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{3}{5} = 3$

$\angle ACB = C$とすると、$\sin C = \sin(180^\circ - A - B) = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\cos B = \sqrt{1-\sin^2 B} = \sqrt{1-(\frac{6}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{625}} = \sqrt{\frac{589}{625}} = \frac{\sqrt{589}}{25}$

$\sin C = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{589}}{25} + (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{6}{25} = \frac{3\sqrt{589}-24}{125}$

直線ACと直線BDの交点がEであるから、方べきの定理は使えなさそう。

$DE = x$とおく。

メネラウスの定理を三角形BCDと直線AEに対して適用する。

$\frac{BA}{AC} \cdot \frac{CE}{ED} \cdot \frac{DD}{DB} = 1$

これは使えない。

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = -\frac{4}{5}$

(2) $AC = 2$

(3) 未解決