直線 $l: y = \frac{3}{2}x + 7$ と直線 $m: y = -x + 7$ がある。点 A は直線 $l$ と $m$ の $y$ 軸との交点、点 B, C はそれぞれ直線 $l$ と $m$ の $x$ 軸との交点である。点 P, Q はそれぞれ線分 AC, AB 上にあり、点 R, S は $x$ 軸上にある。四角形 PQRS が長方形になるように点 P, Q, R, S を定める。点 P の $x$ 座標を $t$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点 Q の座標を $t$ を用いて表せ。 (2) 四角形 PQRS が正方形となるときの点 P の座標を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{3}{2}x + 7$ と直線 $m: y = -x + 7$ がある。点 A は直線 $l$ と $m$ の $y$ 軸との交点、点 B, C はそれぞれ直線 $l$ と $m$ の $x$ 軸との交点である。点 P, Q はそれぞれ線分 AC, AB 上にあり、点 R, S は $x$ 軸上にある。四角形 PQRS が長方形になるように点 P, Q, R, S を定める。点 P の $x$ 座標を $t$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点 Q の座標を $t$ を用いて表せ。

(2) 四角形 PQRS が正方形となるときの点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 Q の座標を $t$ を用いて表す。

* 点 P は直線 $y = -x + 7$ 上の点であり、$x$ 座標が $t$ であるから、点 P の座標は $(t, -t + 7)$ と表される。

* 点 Q は直線 $y = \frac{3}{2}x + 7$ 上の点であり、点 P と y 座標が等しいので、 $-t + 7 = \frac{3}{2}x + 7$ が成り立つ。

* この式を $x$ について解くと、$\frac{3}{2}x = -t$ より、$x = -\frac{2}{3}t$ となる。

* したがって、点 Q の座標は $(-\frac{2}{3}t, -t + 7)$ と表される。

(2) 四角形 PQRS が正方形となるときの点 P の座標を求める。

* PQRS が正方形であるためには、PQ = PS であればよい。

* P の座標は $(t, -t+7)$

* Q の座標は $(-\frac{2}{3}t, -t+7)$

* S の座標は $(t, 0)$

* PQ = $|t - (-\frac{2}{3}t)| = |t + \frac{2}{3}t| = |\frac{5}{3}t| = \frac{5}{3}t$ (ただし、$t > 0$ とする)

* PS = $|-t+7 - 0| = |-t+7| = -t+7$ (ただし、$t<7$ とする)

* PQ = PS より、$\frac{5}{3}t = -t+7$ が成り立つ。

* この式を $t$ について解くと、$\frac{5}{3}t + t = 7$ より、$\frac{8}{3}t = 7$ となり、$t = \frac{21}{8}$ となる。

* 点 P の $y$ 座標は $-t + 7 = -\frac{21}{8} + 7 = \frac{-21 + 56}{8} = \frac{35}{8}$ となる。

* したがって、点 P の座標は $(\frac{21}{8}, \frac{35}{8})$ と表される。

3. 最終的な答え

(1) 点 Q の座標: $(-\frac{2}{3}t, -t + 7)$

(2) 点 P の座標: $(\frac{21}{8}, \frac{35}{8})$