楕円 $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$ と直線 $y = -3x + k$ の共有点の個数が、定数 $k$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$ と直線 $y = -3x + k$ の共有点の個数が、定数 $k$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

楕円の式と直線の式を連立させて、$x$ についての二次方程式を導きます。

次に、その二次方程式の判別式を計算し、$k$ の値によって判別式がどのように変化するかを調べます。

判別式が正であれば共有点は2個、判別式が0であれば共有点は1個、判別式が負であれば共有点は0個となります。

まず、直線の式 $y = -3x + k$ を楕円の式 $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$ に代入します。

すると、

$\frac{x^2}{3} + \frac{(-3x + k)^2}{4} = 1$

となります。

両辺に12を掛けて分母を払うと、

$4x^2 + 3(-3x + k)^2 = 12$

$4x^2 + 3(9x^2 - 6kx + k^2) = 12$

$4x^2 + 27x^2 - 18kx + 3k^2 = 12$

$31x^2 - 18kx + 3k^2 - 12 = 0$

この $x$ についての二次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-18k)^2 - 4(31)(3k^2 - 12)$

$D = 324k^2 - 372k^2 + 1488$

$D = -48k^2 + 1488$

共有点の個数は、$D$ の符号によって決まります。

* $D > 0$ のとき、共有点は2個

* $D = 0$ のとき、共有点は1個

* $D < 0$ のとき、共有点は0個

$D > 0$ となるのは、$-48k^2 + 1488 > 0$ のときです。

$48k^2 < 1488$

$k^2 < \frac{1488}{48} = 31$

$-\sqrt{31} < k < \sqrt{31}$

$D = 0$ となるのは、$k = \pm \sqrt{31}$ のときです。

$D < 0$ となるのは、$k < -\sqrt{31}$ または $k > \sqrt{31}$ のときです。

3. 最終的な答え

* $-\sqrt{31} < k < \sqrt{31}$ のとき、共有点は2個

* $k = \pm \sqrt{31}$ のとき、共有点は1個

* $k < -\sqrt{31}$ または $k > \sqrt{31}$ のとき、共有点は0個