点O(0, 0)からの距離と点A(6, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点O(0, 0)からの距離と点A(6, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とする。

点Pと点Oの距離は $\sqrt{x^2+y^2}$ である。

点Pと点Aの距離は $\sqrt{(x-6)^2+y^2}$ である。

問題文より、$\sqrt{x^2+y^2}:\sqrt{(x-6)^2+y^2} = 1:2$が成り立つ。

これを式で表すと、

$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-6)^2+y^2}} = \frac{1}{2}$

両辺を2乗すると、

$\frac{x^2+y^2}{(x-6)^2+y^2} = \frac{1}{4}$

両辺に$(x-6)^2+y^2$をかけると、

$x^2+y^2 = \frac{1}{4}((x-6)^2+y^2)$

$4(x^2+y^2) = (x-6)^2+y^2$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$

$3x^2 + 12x + 3y^2 = 36$

両辺を3で割ると、

$x^2 + 4x + y^2 = 12$

平方完成を行う。

$(x+2)^2 - 4 + y^2 = 12$

$(x+2)^2 + y^2 = 16$

3. 最終的な答え

$(x+2)^2 + y^2 = 16$

これは、中心が(-2, 0)、半径が4の円を表す。