2点 $A(4, 2)$、$B(0, -2)$ について、条件 $AP^2 - BP^2 = 8$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(4, 2)$、$B(0, -2)$ について、条件 $AP^2 - BP^2 = 8$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。

$AP^2$ と $BP^2$ をそれぞれ計算する。

$AP^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2$

$BP^2 = (x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = x^2 + (y + 2)^2$

条件 $AP^2 - BP^2 = 8$ に代入する。

$((x - 4)^2 + (y - 2)^2) - (x^2 + (y + 2)^2) = 8$

$(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4) - (x^2 + y^2 + 4y + 4) = 8$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 - x^2 - y^2 - 4y - 4 = 8$

$-8x - 8y + 16 = 8$

$-8x - 8y = -8$

$x + y = 1$

3. 最終的な答え

求める軌跡は直線 $x + y = 1$ である。