平面 $R^2$ 内の点 $c = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を通り、ベクトル $p = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ 方向に伸びる直線を考える。 この直線をパラメータ表示で表す問題である。

## Q4

1. 問題の内容

平面 $R^2$ 内の点 $c = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を通り、ベクトル $p = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ 方向に伸びる直線を考える。

この直線をパラメータ表示で表す問題である。

2. 解き方の手順

直線のパラメータ表示は、通常、位置ベクトルと方向ベクトルを用いて表される。

この場合、点 $c$ が位置ベクトルに対応し、ベクトル $p$ が方向ベクトルに対応する。

したがって、直線上の任意の点 $(x, y)$ は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c + sp = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

と表すことができる。

したがって、（1）には $c$ が、（2）には $p$ が入る。

3. 最終的な答え

(1) = c

(2) = p

## Q5

1. 問題の内容

平面 $R^2$ 内の直線 $x - 3y = 1$ について、傾きと直線上の点、方向ベクトルを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、直線の傾きを求める。

$x - 3y = 1$ を $y$ について解くと、

$3y = x - 1$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$

したがって、傾きは $\frac{1}{3}$ である。

次に、直線 $x - 3y = 1$ が点 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を通過することを確認する。

$x = 1, y = 0$ を代入すると、$1 - 3(0) = 1$ となり、成立する。

直線のパラメータ表示を行う。

$x - 3y = 1$ より、$x = 3y + 1$ となる。

そこで、$y = s$ （s は任意の実数）とすると、$x = 3s + 1$ となる。

したがって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3s + 1 \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表せる。

問題文より、直線の方向ベクトルは $p = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ とあるので、これは誤りである。正しくは $p = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) = 1/3