Q4: 平面 $\mathbb{R}^2$ 内の点 $c = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を通り、ベクトル $p = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ 方向に伸びる直線を考える。この直線上の点を $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と表すとき、 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (\boxed{1}) + s(\boxed{2})$ と表記できる。(1) と (2) に入る記号を $c, p$ から選択する。 Q5: 平面 $\mathbb{R}^2$ において、式 $x - 3y = 1$ は傾きが $(\boxed{1})$ で、点 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を通過する直線を表す。この直線は、ベクトル $p = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ として $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s p$ と表せる。

1. 問題の内容

Q4: 平面 $\mathbb{R}^2$ 内の点 $c = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を通り、ベクトル $p = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ 方向に伸びる直線を考える。この直線上の点を $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と表すとき、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (\boxed{1}) + s(\boxed{2})$

と表記できる。(1) と (2) に入る記号を $c, p$ から選択する。

Q5: 平面 $\mathbb{R}^2$ において、式 $x - 3y = 1$ は傾きが $(\boxed{1})$ で、点 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を通過する直線を表す。この直線は、ベクトル $p = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ として

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s p$

と表せる。

2. 解き方の手順

Q4:

* 点 $c$ を通り、ベクトル $p$ 方向に伸びる直線上の点は、位置ベクトル $\vec{c}$ に、ベクトル $\vec{p}$ の定数倍を加えることで表せる。

* よって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c + s p = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

したがって、(1) は $c$ であり、(2) は $p$ である。

Q5:

* $x - 3y = 1$ を $y$ について解くと、$3y = x - 1$ より、$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ となる。

* 直線の傾きは $y = ax + b$ の $a$ の値であるので、傾きは $\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

Q4: (1) は $c$, (2) は $p$

Q5: (1) は $\frac{1}{3}$