与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (3y - 5)x - 2y^2 - 5y + 3$

次に、$x$ の二次式と見て、因数分解できるか試みます。

$2x^2 + (3y - 5)x - (2y^2 + 5y - 3)$

定数項 $2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y - 1)(y + 3)$

したがって、式は次のようになります。

$2x^2 + (3y - 5)x - (2y - 1)(y + 3)$

たすき掛けを利用して因数分解を試みます。

$2x^2 + (3y - 5)x - (2y - 1)(y + 3) = (ax + by + c)(dx + ey + f)$

$x$ の係数 $3y-5$ と定数項 $-(2y-1)(y+3)$ を考慮し、次のように因数分解できると仮定します。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

与えられた式から、因数分解の形を推測します。

$(2x - y + 1)(x + 2y + 3)$

展開して確認します。

$(2x - y + 1)(x + 2y + 3) = 2x^2 + 4xy + 6x - xy - 2y^2 - 3y + x + 2y + 3 = 2x^2 + 3xy - 2y^2 + 7x - y + 3$

この式は元の式と一致しません。別の組み合わせを試します。

$(2x + y + a)(x - 2y + b)$

$(2x - y - 1)(x + 2y - 3) = 2x^2 + 4xy - 6x - xy - 2y^2 + 3y - x - 2y + 3 = 2x^2 + 3xy - 2y^2 - 7x + y + 3$

これも一致しません。しかし、元の式をよく見ると、$-5x - 5y$ の部分に着目すると、

$(2x + y + a)(x - 2y + b)$ で $a, b$ をうまく選ぶことで因数分解できる可能性があります。

$2x^2 - 4xy + 2bx + xy - 2y^2 + by + ax - 2ay + ab = 2x^2 -3xy - 2y^2 + (2b + a)x + (b - 2a)y + ab$

$(2x - y + 1)(x + 2y + 3) = 2x^2 + 3xy -2y^2 + 7x + y + 3$

$(2x + 4y -1)(x -y -3)$

$(2x - 4y + 3)(x + y -1)$

最終的に、以下の因数分解が得られます。

$(2x - y - 1)(x + 2y -3) = 2x^2 +4xy -6x -xy -2y^2 +3y -x -2y +3 = 2x^2 + 3xy - 2y^2 -7x + y + 3$

元の式は$2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$なので、別の方法を試します。

$(2x+y-1)(x-y-3) = 2x^2-2xy-6x +xy-y^2-3y -x+y+3 = 2x^2-xy-y^2-7x-2y+3$

$(2x-y+1)(x+2y-3)$を試すと

$2x^2+4xy-6x -xy-2y^2+3y +x+2y-3 = 2x^2+3xy-2y^2-5x+5y-3$

$(2x-y-3)(x+2y-1) = 2x^2+4xy-2x -xy-2y^2+y -3x-6y+3 = 2x^2+3xy-2y^2-5x-5y+3$

3. 最終的な答え

$(2x - y - 3)(x + 2y - 1)$