集合 $A$, $B$, $C$ が与えられたとき、$n(A \cup B \cup C)$ を求める問題です。ここで、 $A = \{1 以上 100 以下の 2 の倍数\}$ $B = \{1 以上 100 以下の 3 の倍数\}$ $C = \{1 以上 100 以下の 4 の倍数\}$ であり、$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表します。

1. 問題の内容

集合 $A$, $B$, $C$ が与えられたとき、$n(A \cup B \cup C)$ を求める問題です。ここで、

$A = \{1 以上 100 以下の 2 の倍数\}$

$B = \{1 以上 100 以下の 3 の倍数\}$

$C = \{1 以上 100 以下の 4 の倍数\}$

であり、$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表します。

2. 解き方の手順

包含と排除の原理を用いて、$n(A \cup B \cup C)$ を求めます。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

まず、$n(A)$, $n(B)$, $n(C)$ を求めます。

$n(A) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$n(B) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$n(C) = \lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

次に、$n(A \cap B)$, $n(A \cap C)$, $n(B \cap C)$ を求めます。

$A \cap B$ は 2 の倍数かつ 3 の倍数である数の集合なので、6 の倍数の集合です。

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$A \cap C$ は 2 の倍数かつ 4 の倍数である数の集合なので、4 の倍数の集合です。

$n(A \cap C) = \lfloor \frac{100}{4} \rfloor = 25$

$B \cap C$ は 3 の倍数かつ 4 の倍数である数の集合なので、12 の倍数の集合です。

$n(B \cap C) = \lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

最後に、$n(A \cap B \cap C)$ を求めます。

$A \cap B \cap C$ は 2 の倍数かつ 3 の倍数かつ 4 の倍数である数の集合なので、12 の倍数の集合です。

$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{100}{12} \rfloor = 8$

したがって、

$n(A \cup B \cup C) = 50 + 33 + 25 - 16 - 25 - 8 + 8 = 67$

3. 最終的な答え

67