与えられた多項式の展開を行う問題です。具体的には、以下の3つの式を展開します。 (1) $(x+3)(2x^2-x-2)$ (3) $(2k+5)(k-3)$ (5) $(x^2-x+1)(x^2-3x+1)$ (7) $(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

1. 問題の内容

与えられた多項式の展開を行う問題です。具体的には、以下の3つの式を展開します。

(1) $(x+3)(2x^2-x-2)$

(3) $(2k+5)(k-3)$

(5) $(x^2-x+1)(x^2-3x+1)$

(7) $(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+3)(2x^2-x-2)$

まず、$x$を$(2x^2-x-2)$にかけ、次に$3$を$(2x^2-x-2)$にかけます。

$x(2x^2-x-2) = 2x^3 - x^2 - 2x$

$3(2x^2-x-2) = 6x^2 - 3x - 6$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$2x^3 - x^2 - 2x + 6x^2 - 3x - 6 = 2x^3 + 5x^2 - 5x - 6$

(3) $(2k+5)(k-3)$

まず、$2k$を$(k-3)$にかけ、次に$5$を$(k-3)$にかけます。

$2k(k-3) = 2k^2 - 6k$

$5(k-3) = 5k - 15$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$2k^2 - 6k + 5k - 15 = 2k^2 - k - 15$

(5) $(x^2-x+1)(x^2-3x+1)$

まず、$x^2$を$(x^2-3x+1)$にかけ、次に$-x$を$(x^2-3x+1)$にかけ、最後に$1$を$(x^2-3x+1)$にかけます。

$x^2(x^2-3x+1) = x^4 - 3x^3 + x^2$

$-x(x^2-3x+1) = -x^3 + 3x^2 - x$

$1(x^2-3x+1) = x^2 - 3x + 1$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$x^4 - 3x^3 + x^2 - x^3 + 3x^2 - x + x^2 - 3x + 1 = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1$

(7) $(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

まず、$(x+y)(x-y)$を展開します。これは和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、$x^2-y^2$ となります。

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

次に、$(x^2+y^2)(x^2-y^2)$を展開します。これも和と差の積の公式を用いることができます。

$(x^2+y^2)(x^2-y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

3. 最終的な答え

(1) $2x^3 + 5x^2 - 5x - 6$

(3) $2k^2 - k - 15$

(5) $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1$

(7) $x^4 - y^4$