与えられた式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与式を $x$ について整理します。

$6x^2 + (-7y - 6)x + (2y^2 + 5y - 12)$

次に、定数項である $2y^2 + 5y - 12$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 12 = (2y - 3)(y + 4)$

したがって、与式は次の形に因数分解できると予想できます。

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

$6x^2$ の係数から、$a$ と $d$ は $6$ の約数である必要があります。例えば、$a=3, d=2$ と仮定します。

$2y^2$ の係数から、$b$ と $e$ は $2$ の約数である必要があります。例えば、$b=-3, e=-1$ と仮定します。

$-12$ の係数から、$c$ と $f$ は $-12$ の約数である必要があります。例えば、$c=-4, f=3$ と仮定します。

$(3x - y + A)(2x - 2y + B) = 6x^2-6xy+2Bx-2xy+2y^2+2Ay+Ax-2Ay-AB$

与えられた式は $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ でした。

$6x^2-7xy+2y^2-6x+5y-12 = (2x-y+3)(3x-2y-4)$

$(2x - y + 3)(3x - 2y - 4) = 6x^2 - 4xy - 8x - 3xy + 2y^2 + 4y + 9x - 6y - 12 = 6x^2 - 7xy + 2y^2 + x - 2y - 12$

したがって、今回は因数分解できません。

$6x^2 - 7xy + 2y^2 = (2x - y)(3x - 2y)$

$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = (2x-y+A)(3x-2y+B)$

$AB=-12$

$2B+3A=-6$

$-B-2A=5$

$2B+3A=-6$

$-2B-4A=10$

$-A=4 \implies A=-4$

$2B - 12=-6 \implies 2B=6 \implies B=3$

$AB=-12$ OK!

$(2x-y-4)(3x-2y+3) = 6x^2 - 4xy + 6x - 3xy + 2y^2 - 3y - 12x + 8y - 12 = 6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$

3. 最終的な答え

$(2x-y-4)(3x-2y+3)$