直線 $x+2y-3=0$ を直線 $l$ とします。点 $P(0, -2)$ と直線 $l$ に関して対称な点 $Q$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $x+2y-3=0$ を直線 $l$ とします。点 $P(0, -2)$ と直線 $l$ に関して対称な点 $Q$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(a, b)$ とします。

(1) 線分 $PQ$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、点 $M$ の座標を求めます。

点 $M$ の座標は $\left(\frac{0+a}{2}, \frac{-2+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b-2}{2}\right)$ です。

点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{a}{2} + 2 \cdot \frac{b-2}{2} - 3 = 0$

$a + 2(b-2) - 6 = 0$

$a + 2b - 4 - 6 = 0$

$a + 2b = 10$　...(1)

(2) 直線 $PQ$ は直線 $l$ と垂直なので、直線 $PQ$ の傾きと直線 $l$ の傾きの積は $-1$ です。

直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

直線 $PQ$ の傾きは $\frac{b-(-2)}{a-0} = \frac{b+2}{a}$ です。

よって、以下の式が成り立ちます。

$\frac{b+2}{a} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

$b+2 = 2a$

$2a - b = 2$　...(2)

(3) 式(1) と 式(2) から、$a$ と $b$ を求めます。

式(1) より $a = 10 - 2b$。これを式(2)に代入すると、

$2(10 - 2b) - b = 2$

$20 - 4b - b = 2$

$-5b = -18$

$b = \frac{18}{5}$

$a = 10 - 2 \cdot \frac{18}{5} = 10 - \frac{36}{5} = \frac{50-36}{5} = \frac{14}{5}$

3. 最終的な答え

点 $Q$ の座標は $\left(\frac{14}{5}, \frac{18}{5}\right)$ です。