与えられた2変数多項式 $10x^2 - 21xy + 9y^2 + 8x + 6y - 24$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $10x^2 - 21xy + 9y^2 + 8x + 6y - 24$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次式と見て整理します。

$10x^2 + (-21y+8)x + (9y^2 + 6y - 24)$

次に、定数項の $9y^2 + 6y - 24$ を因数分解できるか試します。

$9y^2 + 6y - 24 = 3(3y^2 + 2y - 8) = 3(3y - 4)(y + 2)$

よって、

$10x^2 + (-21y+8)x + 3(3y-4)(y+2)$

の形で、全体を因数分解できるか検討します。

$10x^2$ の項から、$5x$ と $2x$ 、あるいは $10x$ と $x$ が考えられます。

定数項の $3(3y-4)(y+2)$ から、$3y-4$ と $y+2$ を組み合わせることを考えます。

$(5x + ay + b)(2x + cy + d)$ とおいて展開し、元の式と比較することを試みます。

$10x^2 + (5c+2a)xy + (5d+2b)x + ac y^2 + (ad+bc)y + bd$

元の式と比較して

$5c+2a = -21$

$ac = 9$

$5d+2b = 8$

$ad+bc = 6$

$bd = -24$

いくつかの組み合わせを試すと、$a = -3, c = -3, b = 6, d = -4$ が条件を満たします。

$(5x - 3y + 6)(2x - 3y - 4) = 10x^2 - 15xy - 20x - 6xy + 9y^2 + 12y + 12x - 18y - 24 = 10x^2 - 21xy + 9y^2 - 8x - 6y - 24$

したがって、符号を調整して、

$(5x - 3y - 6)(2x - 3y + 4) = 10x^2 - 15xy + 20x - 6xy + 9y^2 - 12y - 12x + 18y - 24 = 10x^2 - 21xy + 9y^2 + 8x + 6y - 24$

3. 最終的な答え

$(5x - 3y - 6)(2x - 3y + 4)$