(1) 関数 $y = 2x^2$ について、$x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。 (2) 関数 $y = ax^2$ について、$x$ の変域が $-6 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ であった。このとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2x^2$ について、$x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。

(2) 関数 $y = ax^2$ について、$x$ の変域が $-6 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ であった。このとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = 2x^2$ について、$x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最小値は $x=0$ のときで $y=0$ である。

$x = -3$ のとき $y = 2(-3)^2 = 2(9) = 18$。

$x = 1$ のとき $y = 2(1)^2 = 2$。

したがって、$y$ の最大値は $18$ である。

よって、$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ である。

(2)

$y = ax^2$ について、$x$ の変域が $-6 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ である。

$y$ の変域に $0$ が含まれることから、$a$ は $0$ でないことがわかる。

$x$ の変域が $-6 \le x \le 2$ であるから、$x$ の絶対値が最大となるのは $x = -6$ のときである。

このとき、$y = a(-6)^2 = 36a$。

$y$ の最大値が $12$ であるから、$36a = 12$ より $a = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$。

$a = \frac{1}{3}$ は正であるから、$0 \le y \le 12$ は正しい。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le y \le 18$

(2) $a = \frac{1}{3}$