与えられた多項式 $3x^2 - xy - 2y^2 - 9x - y + 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $3x^2 - xy - 2y^2 - 9x - y + 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 - (y+9)x - 2y^2 - y + 6$

次に、定数項 $-2y^2 - y + 6$ を因数分解します。

$-2y^2 - y + 6 = -(2y^2 + y - 6) = -(2y - 3)(y + 2) = (3-2y)(y+2)$

ここで、$3x^2 - (y+9)x + (3-2y)(y+2)$ が $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$3x^2$ の係数は $3$ なので、$a=3$, $d=1$ または $a=1$, $d=3$ が考えられます。

$(3x+Ay+B)(x+Cy+D)$ の形で因数分解できると仮定します。

$3x^2 + (3C+A)xy + ACy^2 + (3D+B)x + (AD+BC)y + BD$

$3x^2 - xy - 2y^2 - 9x - y + 6$ と係数を比較します。

$3C+A = -1$

$AC = -2$

$3D+B = -9$

$AD+BC = -1$

$BD = 6$

$AC = -2$ より、$A=1, C=-2$ または $A=-1, C=2$ または $A=2, C=-1$ または $A=-2, C=1$ が考えられます。

$A=1$ のとき、$3C+A = 3(-2) + 1 = -6+1 = -5 \neq -1$ なので不適

$A=-1$ のとき、$3C+A = 3(2) + (-1) = 6-1 = 5 \neq -1$ なので不適

$A=2$ のとき、$3C+A = 3(-1) + 2 = -3+2 = -1$ で条件を満たす。このとき、$3D+B=-9$、$2D-B=-1$、$BD=6$

$2D-B=-1$ より $B = 2D+1$

$BD = D(2D+1) = 6$ より $2D^2 + D - 6 = 0$

$(2D-3)(D+2) = 0$ より $D = 3/2$ または $D=-2$

$D = 3/2$ のとき $B = 2(3/2)+1 = 4$ 。このとき $3D+B = 3(3/2)+4 = 9/2 + 8/2 = 17/2 \neq -9$ なので不適

$D = -2$ のとき $B = 2(-2)+1 = -3$ 。このとき $3D+B = 3(-2)-3 = -6-3 = -9$ で条件を満たす。

$AD+BC = A(-2) + B(-1) = 2(-2) + (-3)(-1) = -4+3 = -1$ で条件を満たす。

よって、$A=2, B=-3, C=-1, D=-2$

したがって、$3x^2 - xy - 2y^2 - 9x - y + 6 = (3x+2y-3)(x-y-2)$

3. 最終的な答え

$(3x+2y-3)(x-y-2)$