与えられた式 $x^2 - 2xy - 3y^2 - x + 7y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 2xy - 3y^2 - x + 7y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-2y - 1)x + (-3y^2 + 7y - 2)$

次に、定数項 $-3y^2 + 7y - 2$ を因数分解します。

$-3y^2 + 7y - 2 = -(3y^2 - 7y + 2) = -(3y - 1)(y - 2)$

したがって、与式は以下のように書き換えられます。

$x^2 - (2y + 1)x - (3y - 1)(y - 2)$

ここで、たすき掛けを考えます。

$x^2 - (2y + 1)x - (3y - 1)(y - 2) = (x + a)(x + b)$ とすると、

$a + b = -(2y + 1)$

$ab = -(3y - 1)(y - 2)$

を満たす $a, b$ を見つけます。

$a = (y - 2), b = -(3y - 1)$ とすると、

$a + b = y - 2 - (3y - 1) = y - 2 - 3y + 1 = -2y - 1$

$ab = (y - 2)(-(3y - 1)) = -(y - 2)(3y - 1)$

となり条件を満たします。

したがって、

$x^2 - (2y + 1)x - (3y - 1)(y - 2) = (x + y - 2)(x - 3y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x + y - 2)(x - 3y + 1)$