白玉4個、黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出す。白玉が出る回数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求める問題。

1. 問題の内容

白玉4個、黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出す。白玉が出る回数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求める問題。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ は、2回続けて玉を取り出すとき、白玉が出る回数なので、$X$ が取りうる値は $0, 1, 2$ の3つ。それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$ のとき（2回とも黒玉が出るとき）：

1回目に黒玉を引く確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

1回目に黒玉を引いた後、残りの玉は白玉4個、黒玉1個。

2回目に黒玉を引く確率は $\frac{1}{5}$。

したがって、$P(X=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$。

* $X = 1$ のとき（1回だけ白玉が出るとき）：

1回目に白玉、2回目に黒玉を引く場合：

1回目に白玉を引く確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

1回目に白玉を引いた後、残りの玉は白玉3個、黒玉2個。

2回目に黒玉を引く確率は $\frac{2}{5}$。

この確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$。

1回目に黒玉、2回目に白玉を引く場合：

1回目に黒玉を引く確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

1回目に黒玉を引いた後、残りの玉は白玉4個、黒玉1個。

2回目に白玉を引く確率は $\frac{4}{5}$。

この確率は $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}$。

したがって、$P(X=1) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$。

* $X = 2$ のとき（2回とも白玉が出るとき）：

1回目に白玉を引く確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

1回目に白玉を引いた後、残りの玉は白玉3個、黒玉2個。

2回目に白玉を引く確率は $\frac{3}{5}$。

したがって、$P(X=2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

確認として、確率の合計が1になるか確かめる。

$\frac{1}{15} + \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{15}{15} = 1$。

3. 最終的な答え

$X$ | $0$ | $1$ | $2$ | 計

------- | -------- | -------- | -------- | --------

$P$ | $\frac{1}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{2}{5}$ | $1$