円の外部の点Pから円に引かれた2本の直線PAとPCがある。PAとPCが円とそれぞれ点A, Cで交わり、直線PAは円と点Bで、直線PCは円と点Dで交わっている。PA = $x$ cm, PB = 8 cm, PC = 6 cm, PD = 2 cm のとき、$x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから円に引かれた2本の直線PAとPCがある。PAとPCが円とそれぞれ点A, Cで交わり、直線PAは円と点Bで、直線PCは円と点Dで交わっている。PA = $x$ cm, PB = 8 cm, PC = 6 cm, PD = 2 cm のとき、$x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は方べきの定理を利用して解きます。

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。

この問題では、$PA = x$, $PB = PA + AB = x + 8$, $PC = 6$, $PD = PC + CD = 6 + 2 = 8$ なので、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ は $(x)(x+8) = (6)(6+2)$ と書き換えられます。

すなわち、

$x(x+8)=6(6+2)$.

$x(x+8)=6(8)$

$x^2 + 8x = 48$

$x^2 + 8x - 48 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(x + 12)(x - 4) = 0$

$x = -12$ または $x = 4$

$x$ は線分の長さなので、$x > 0$ です。したがって、$x = 4$。

3. 最終的な答え

4 cm