円と接線に関する問題です。点Pから円への接線PAと、円の内部を通る線分PDがあります。PA = 3cm、CD = 7cm、PC = x cmのとき、xの値を求めます。

1. 問題の内容

円と接線に関する問題です。点Pから円への接線PAと、円の内部を通る線分PDがあります。PA = 3cm、CD = 7cm、PC = x cmのとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

円の接線に関する方べきの定理を利用します。

方べきの定理より、点Pから円への接線PAの長さの2乗は、点Pから円上の点Cまでの距離PCと、点Pから円上の点Dまでの距離PDの積に等しくなります。

つまり、

$PA^2 = PC \cdot PD$

この問題では、$PA = 3$, $PC = x$, $CD = 7$ です。$PD = PC + CD = x + 7$となります。

上記の式にそれぞれの値を代入します。

$3^2 = x \cdot (x + 7)$

$9 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 9 = 0$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

解の公式は、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ であり、この場合は $a=1, b=7, c=-9$ です。

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 36}}{2}$

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{85}}{2}$

$x$ は長さを表すので正の値を取る必要があります。したがって、

$x = \frac{-7 + \sqrt{85}}{2}$

$\sqrt{85}$ の近似値は 9.22 です。

$x = \frac{-7 + 9.22}{2}$

$x = \frac{2.22}{2}$

$x \approx 1.11$

しかし、問題文に選択肢がないため、厳密な値を求めます。二次方程式 $x^2 + 7x - 9 = 0$ の正の解は $x = \frac{-7 + \sqrt{85}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{-7 + \sqrt{85}}{2}$ cm