1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが3枚、3が書かれたカードが3枚、4が書かれたカードが3枚の合計10枚のカードがある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とし、$X$ の確率分布を求める。

1. 問題の内容

1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが3枚、3が書かれたカードが3枚、4が書かれたカードが3枚の合計10枚のカードがある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とし、$X$ の確率分布を求める。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ は、0, 1, 2 のいずれかの値をとる。それぞれの確率を計算する。

まず、カードを2枚引くすべての組み合わせの数は、

$_{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$ 通りである。

(1) $X=0$ のとき（2枚とも奇数）：

奇数のカードは、1が1枚、3が3枚で合計4枚。

したがって、$P(X=0) = \frac{_4P_2}{_{10}P_2} = \frac{4 \times 3}{90} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

(2) $X=1$ のとき（1枚が偶数、1枚が奇数）：

偶数のカードは、2が3枚、4が3枚で合計6枚。

奇数のカードは、1が1枚、3が3枚で合計4枚。

$P(X=1) = \frac{_6P_1 \times _4P_1 + _4P_1 \times _6P_1}{_{10}P_2} = \frac{6 \times 4 + 4 \times 6}{90} = \frac{24+24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

(3) $X=2$ のとき（2枚とも偶数）：

偶数のカードは、2が3枚、4が3枚で合計6枚。

したがって、$P(X=2) = \frac{_6P_2}{_{10}P_2} = \frac{6 \times 5}{90} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$

確率分布は以下のようになる。

$X=0$ のとき $P(X=0) = \frac{2}{15}$

$X=1$ のとき $P(X=1) = \frac{8}{15}$

$X=2$ のとき $P(X=2) = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

確率の合計は $\frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{15}{15} = 1$ となる。

3. 最終的な答え

$X=0$ のとき、$\frac{2}{15}$

$X=1$ のとき、$\frac{8}{15}$

$X=2$ のとき、$\frac{5}{15}$ または $\frac{1}{3}$