円と直線に関する問題で、図に示された長さから $x$ の値を求める問題です。方べきの定理を利用して解きます。

1. 問題の内容

円と直線に関する問題で、図に示された長さから $x$ の値を求める問題です。方べきの定理を利用して解きます。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、円外の点Pから円に引いた2本の直線について、以下の関係が成り立ちます。

$PA \times PB = PC \times PD$

図から、それぞれの長さは以下のようになります。

$PA = x$ cm

$PB = 4 + x$ cm

$PC = 3$ cm

$PD = 3 + 1 = 4$ cm

上記の値を方べきの定理の式に代入します。

$x(4 + x) = 3 \times 4$

これを展開して整理すると、

$4x + x^2 = 12$

$x^2 + 4x - 12 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x + 6)(x - 2) = 0$

よって、$x = -6$ または $x = 2$ となります。

長さは負の値を取らないため、$x = 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

2 cm