実数 $a$, $b$ について、$2 \le a < 3$, $-1 \le b < 4$ のとき、$3a - 5b$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ について、$2 \le a < 3$, $-1 \le b < 4$ のとき、$3a - 5b$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$ の範囲に 3 を掛けて、$3a$ の範囲を求める。

$2 \le a < 3$ の各辺に 3 を掛けると

$3 \times 2 \le 3a < 3 \times 3$

$6 \le 3a < 9$

次に、$b$ の範囲に -5 を掛けて、$-5b$ の範囲を求める。

$-1 \le b < 4$ の各辺に -5 を掛けると、不等号の向きが逆になることに注意する。

$-5 \times 4 < -5b \le -5 \times (-1)$

$-20 < -5b \le 5$

$3a - 5b$ の範囲を求めるために、$6 \le 3a < 9$ と $-20 < -5b \le 5$ を足し合わせる。

$6 + (-20) < 3a + (-5b) < 9 + 5$

$-14 < 3a - 5b < 14$

この範囲は左側が < となっていることに注意する。$-5b$の右辺は不等号に=を含み、３aの左辺も不等号に=を含むため、左側の不等号は=を含むことになる。

したがって、$3a - 5b$ の範囲は $-14 < 3a - 5b \le 14$ となる。

3. 最終的な答え

$-14 < 3a - 5b \le 14$