円の外部の点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ円と2点で交わるようにします。点Pから点Aまでの距離が4cm、点Aから点Bまでの距離が16cm、点Pから点Cまでの距離が$x$ cm、点Cから点Dまでの距離が11cmです。$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから円に2本の直線を引き、それぞれ円と2点で交わるようにします。点Pから点Aまでの距離が4cm、点Aから点Bまでの距離が16cm、点Pから点Cまでの距離が$x$ cm、点Cから点Dまでの距離が11cmです。$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

円の外部の点から円に引いた2本の直線に関するべき乗の定理を利用します。点Pから円への2本の直線について、以下の関係が成り立ちます。

$PA \times PB = PC \times PD$

この問題では、$PA = 4$, $AB = 16$, $PC = x$, $CD = 11$ です。

したがって、$PB = PA + AB = 4 + 16 = 20$ です。

同様に、$PD = PC + CD = x + 11$ です。

上記のべき乗の定理の式にこれらの値を代入すると、

$4 \times 20 = x \times (x + 11)$

$80 = x^2 + 11x$

$x^2 + 11x - 80 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を試みると、

$(x + 16)(x - 5) = 0$

したがって、$x = -16$ または $x = 5$ です。

長さは負の数にならないため、$x = 5$ が解となります。

3. 最終的な答え

5 cm