与えられた式 $x^4 - 13x^2 + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 13x^2 + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、複二次式と呼ばれる形をしています。これを因数分解するために、まず $x^4 + 4$ の形に着目し、平方の差の形に変形することを考えます。

$x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2$

ここで、$4x^2$ を足して引くことで、平方完成を目指します。

$x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

これで平方の差の形になったので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を使って因数分解できます。

$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

元の式 $x^4 - 13x^2 + 4$ は、$x^4 + 4x^2 + 4 - 17x^2$ と変形できます。

これは、$(x^2 + 2)^2 - 17x^2$ となり、平方の差の形にはできません。

別の方法として、$x^4 - 13x^2 + 4$ を $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ の形に因数分解できると仮定します。

このとき、$x^4$の係数は1, 定数項は4なので、$bd = 4$ となります。

また、各係数を比較すると

$a+c = 0$

$ac + b + d = -13$

$ad + bc = 0$

$bd = 4$

となります。$c=-a$より、$a(d-b)=0$。$a=0$とすると、$x^2$の係数は$b+d=-13$となり、$bd=4$を満たす整数解は存在しないので、$b=d$となります。

$bd=4$より、$b=d=2$。

$ac+b+d = -a^2 + 4 = -13$より、$a^2=17$。このとき、$a = \pm \sqrt{17}$となり、整数係数の因数分解とはならないため、他の方法を検討する。

$x^4 - 13x^2 + 4 = x^4 - 4x^2 + 4 - 9x^2 = (x^2 - 2)^2 - (3x)^2 = (x^2 - 3x - 2)(x^2 + 3x - 2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3x - 2)(x^2 - 3x - 2)$