$a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ca + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc$

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1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$

(2) $x(y^2-z^2) + y(z^2-x^2) + z(x^2 - y^2)$

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2. 解き方の手順

### (1) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$

1. 式を展開します。

$a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ca + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc$

2. 同類項をまとめます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

3. 次数が一番低い文字（この場合は$a, b, c$全て2次で同じ）について整理します。ここでは$a$について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

4. $(b+c)$を共通因数としてくくり出します。

$(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

5. 括弧の中を因数分解します。

$(b+c)(a+b)(a+c)$

6. 順番を整えます。

$(a+b)(b+c)(c+a)$

### (2) $x(y^2-z^2) + y(z^2-x^2) + z(x^2 - y^2)$

1. 式を展開します。

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2$

2. 次数が一番低い文字（この場合は$x, y, z$全て2次で同じ）について整理します。ここでは$x$について整理します。

$x^2(z-y) + x(y^2 - z^2) + yz^2 - zy^2$

3. $x^2(z-y) + x(y-z)(y+z) + yz(z-y)$

4. $(z-y)$もしくは$(y-z)$を共通因数としてくくり出します。ここでは$(z-y)$でくくり出します。

$(z-y)[x^2 - x(y+z) + yz]$

5. 括弧の中を因数分解します。

$(z-y)(x-y)(x-z)$

6. 順番を整えます。符号が変わることに注意して、$(x-y)(y-z)(z-x)$とします。

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3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(x-y)(y-z)(z-x)$