与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$ の部分を因数分解します。

これは $(x + 2y)(x + 3y)$ と因数分解できます。

したがって、与えられた式は $(x + 2y)(x + 3y) - 2x - 7y - 3$ と書き換えられます。

次に、与えられた式が $(x + 2y + a)(x + 3y + b)$ の形に因数分解できると仮定します。展開すると次のようになります。

$(x + 2y + a)(x + 3y + b) = x^2 + 3xy + bx + 2xy + 6y^2 + 2by + ax + 3ay + ab = x^2 + 5xy + 6y^2 + (a+b)x + (2b+3a)y + ab$

これを $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ と比較すると、次の連立方程式が得られます。

$a + b = -2$

$3a + 2b = -7$

$ab = -3$

最初の式から $b = -2 - a$ となります。これを2番目の式に代入します。

$3a + 2(-2-a) = -7$

$3a - 4 - 2a = -7$

$a = -3$

よって、$b = -2 - a = -2 - (-3) = 1$

最後に、$ab = (-3)(1) = -3$となり、3番目の式も満たします。

したがって、与えられた式は $(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$