与えられたグラフは関数 $y = 2\sin(a\theta - b)$ の一部である。$a > 0$、$0 < b < 2\pi$ のとき、$a$, $b$, $A$, $B$, $C$ の値を求めよ。グラフには $\theta = \frac{\pi}{6}$ で極大値、$y = 2$ をとり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ で極小値、$y = -2$ をとることが示されている。また、$\theta = \frac{\pi}{2}$ でグラフは $\theta$軸と交差している。

1. 問題の内容

与えられたグラフは関数 $y = 2\sin(a\theta - b)$ の一部である。$a > 0$、$0 < b < 2\pi$ のとき、$a$, $b$, $A$, $B$, $C$ の値を求めよ。グラフには $\theta = \frac{\pi}{6}$ で極大値、$y = 2$ をとり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ で極小値、$y = -2$ をとることが示されている。また、$\theta = \frac{\pi}{2}$ でグラフは $\theta$軸と交差している。

2. 解き方の手順

まず、グラフの周期を求める。$\theta = \frac{\pi}{6}$ で極大値、$\theta = \frac{\pi}{3}$ で極小値をとるので、半周期は $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ となる。したがって、周期は $2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ である。

$\sin$関数の周期は $2\pi$ なので、

$\frac{2\pi}{a} = \frac{\pi}{3}$

$a = 6$

次に、$b$ の値を求める。$\theta = \frac{\pi}{6}$ で $y = 2$ となるので、

$2 = 2\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6} - b) = 2\sin(\pi - b)$

$\sin(\pi - b) = 1$

$\pi - b = \frac{\pi}{2}$

$b = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

次に、$A$, $B$, $C$ の値を求める。

$A$ はグラフの極大値なので、$A = 2$。

$B$ はグラフの極小値なので、$B = -2$。

$C$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ で $y = 0$ であることから、$C = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = \frac{\pi}{2}$

$A = 2$

$B = -2$

$C = \frac{\pi}{2}$