問題は、以下の3つの三角方程式または不等式を解くことです。 (1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ を解く。 (2) $-\pi < \theta < \pi$ のとき、$\tan\theta + 1 > 0$ を解く。 (3) $-\pi \le \theta < \pi$ のとき、$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$ を解く。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの三角方程式または不等式を解くことです。

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$2\cos^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$ を解く。

(2) $-\pi < \theta < \pi$ のとき、$\tan\theta + 1 > 0$ を解く。

(3) $-\pi \le \theta < \pi$ のとき、$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、式を $\sin\theta$ で表します。

$2(1 - \sin^2\theta) - \sin\theta - 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0$

$-2\sin^2\theta - \sin\theta + 1 = 0$

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0$

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) = 0$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ または $\sin\theta = -1$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin\theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

(2)

$\tan\theta + 1 > 0$

$\tan\theta > -1$

$-\pi < \theta < \pi$ の範囲で、$\tan\theta = -1$ となるのは $\theta = -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

$\tan\theta > -1$ となるのは、$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

(3)

$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) \ge \frac{1}{2}$

$-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で、$-\pi - \frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \pi - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{7\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$

$\cos x \ge \frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は $-\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

(3) $-\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$