(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、 $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ とする。$\sin \alpha = \frac{2}{3}$、 $\sin \beta = \frac{2}{7}$ のとき、$\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos(\alpha + \beta)$ を求めよ。 (2) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ で、$\sin \theta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin 2\theta$、$\sin \frac{\theta}{2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、 $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ とする。$\sin \alpha = \frac{2}{3}$、 $\sin \beta = \frac{2}{7}$ のとき、$\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos(\alpha + \beta)$ を求めよ。

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ で、$\sin \theta = \frac{4}{5}$ のとき、$\sin 2\theta$、$\sin \frac{\theta}{2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \alpha$ を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \alpha > 0$ なので、

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos \beta$ を求める。$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \beta > 0$ なので、

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{\sqrt{45}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$

$\cos(\alpha + \beta)$ を求める。加法定理より、

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{3\sqrt{5}}{7}) - (\frac{2}{3})(\frac{2}{7}) = \frac{15}{21} - \frac{4}{21} = \frac{11}{21}$

(2)

$\sin 2\theta$ を求める。倍角の公式より、

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$

$\cos \theta$ を求める。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \theta > 0$ なので、

$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

したがって、

$\sin 2\theta = 2 (\frac{4}{5}) (\frac{3}{5}) = \frac{24}{25}$

$\sin \frac{\theta}{2}$ を求める。半角の公式より、

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{4}$ なので、$\sin \frac{\theta}{2} > 0$

したがって、

$\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$、$\cos \beta = \frac{3\sqrt{5}}{7}$、$\cos(\alpha + \beta) = \frac{11}{21}$

(2) $\sin 2\theta = \frac{24}{25}$、$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$