$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ , $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2y + xy^2$ (4) $x^2 + y^2$ (5) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$ , $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2y + xy^2$

(4) $x^2 + y^2$

(5) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{(3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

(1) $x + y = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

(2) $xy = \frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = 1$

(3) $x^2y + xy^2 = xy(x + y) = 1 \cdot 7 = 7$

(4) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7^2 - 2 \cdot 1 = 49 - 2 = 47$

(5) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 7(7^2 - 3 \cdot 1) = 7(49 - 3) = 7 \cdot 46 = 322$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = 7$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2y + xy^2 = 7$

(4) $x^2 + y^2 = 47$

(5) $x^3 + y^3 = 322$