(1) $4x + 3y = 123$ を満たす自然数 $x, y$ の組は何組あるか。 (2) $7x + 5y = 2$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$-21 \le x \le 3$ を満たすようなものは何組あるか。

1. 問題の内容

(1) $4x + 3y = 123$ を満たす自然数 $x, y$ の組は何組あるか。

(2) $7x + 5y = 2$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$-21 \le x \le 3$ を満たすようなものは何組あるか。

2. 解き方の手順

(1) $4x + 3y = 123$ について考える。

まず、$3y = 123 - 4x$ と変形する。

$y = \frac{123 - 4x}{3} = 41 - \frac{4}{3}x$ となる。

$y$ が自然数であるためには、$123 - 4x$ が $3$ の倍数である必要があり、言い換えると $4x$ を $3$ で割った余りが $123$ を $3$ で割った余りと等しい必要がある。

$123$ は $3$ で割り切れるので、$4x$ も $3$ で割り切れる必要がある。

$4$ と $3$ は互いに素なので、$x$ が $3$ の倍数である必要がある。

$x = 3k$ （$k$ は整数）と置ける。

$x > 0$ かつ $y > 0$ である必要があるので、$3k > 0$ かつ $41 - \frac{4}{3}(3k) > 0$ である必要がある。

$k > 0$ かつ $41 - 4k > 0$

$k > 0$ かつ $4k < 41$

$k > 0$ かつ $k < \frac{41}{4} = 10.25$

$k$ は整数なので、$1 \le k \le 10$ である。

したがって、$x = 3k$ であり、$k$ は $1$ から $10$ までの整数をとりうるので、$x, y$ の組は $10$ 組存在する。

(2) $7x + 5y = 2$ について考える。

$7x + 5y = 2$ を満たす整数解の一つを求める。

$7(-1) + 5(1) = -2$

$7(1) + 5(-1) = 2$

よって、$x = 1, y = -1$ は解の一つである。

$7x + 5y = 2$

$7(1) + 5(-1) = 2$

$7(x - 1) + 5(y + 1) = 0$

$7(x - 1) = -5(y + 1)$

$7$ と $-5$ は互いに素なので、$x - 1$ は $5$ の倍数である必要がある。

$x - 1 = 5k$ （$k$ は整数）と置ける。

$x = 5k + 1$

$7(5k) = -5(y + 1)$

$7k = -(y + 1)$

$y = -7k - 1$

整数解は $(x, y) = (5k + 1, -7k - 1)$ と表せる。

$-21 \le x \le 3$ を満たすものを求める。

$-21 \le 5k + 1 \le 3$

$-22 \le 5k \le 2$

$-\frac{22}{5} \le k \le \frac{2}{5}$

$-4.4 \le k \le 0.4$

$k$ は整数なので、$k = -4, -3, -2, -1, 0$ である。

$k$ が $5$ 個の値を取るので、解は $5$ 組存在する。

3. 最終的な答え

(1) 10組

(2) 5組