$\sqrt{20a}$ が自然数になるような自然数 $a$ のうち、最も小さい数を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{20a}$ が自然数になるような自然数 $a$ のうち、最も小さい数を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{20a}$ が自然数になるためには、$20a$ がある自然数の2乗になる必要があります。

まず、20を素因数分解します。

$20 = 2^2 \times 5$

したがって、

$\sqrt{20a} = \sqrt{2^2 \times 5 \times a}$

$\sqrt{2^2 \times 5 \times a}$ が自然数になるためには、ルートの中身が何かの整数の2乗になる必要があります。

$2^2$ はすでに2乗の形になっているので、残りの $5 \times a$ が何かの整数の2乗になる必要があります。

$5 \times a$ を2乗の形にするためには、$a$ が少なくとも5を因数に持つ必要があります。

したがって、$a = 5$ のとき、

$\sqrt{20a} = \sqrt{2^2 \times 5 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = \sqrt{(2 \times 5)^2} = 2 \times 5 = 10$

これは自然数になります。

よって、$a=5$ が求める最も小さい自然数です。

3. 最終的な答え

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